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title: 고백은 왜 늦는가
description: 둘 다 좋아하는데 아무도 말하지 않는다. 성격이 아니라 거절 비용이 만드는 교착이고, 매칭 앱은 그 비용을 0으로 만든 장치다.
tags: [연애, 게임이론, 메커니즘]
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```틀
제목: 고백 게임
부제: 불완전정보 · 신호 · 메커니즘
== 변수
V: 성사됐을 때 얻는 것
c: 거절당했을 때 잃는 것
p: 상대가 나를 좋아할 확률 (내 믿음)
θ: 내 호감의 크기 (상대는 모름)
== 쓰는 도구
신호 게임: Spence
안정 매칭: Gale–Shapley
메커니즘: 동시 비밀 제출
```
둘 다 서로를 좋아한다. 둘 다 안다고 느낀다. 그런데 반년째 아무도 말하지 않는다. 이걸 "소심해서"라고 하면 거기서 설명이 멈춘다. 자리를 보면 다른 게 보인다 — 둘은 같은 식을 풀고 있고, 그 식의 답이 침묵이다.
## 고백은 값을 치르는 신호
고백은 정보를 주는 행동이 아니라 값을 치르는 행동이다. 성사되면 $V$를 얻고, 거절당하면 $c$를 잃는다. $c$는 체면만이 아니다. 같은 회사, 같은 학과, 같은 친구 무리라면 거절 뒤에도 매일 마주쳐야 하고, 그 어색함이 전부 $c$에 들어간다.
상대가 나를 좋아할 확률을 $p$라고 믿는다면 고백의 기대값은
$$
\mathbb{E}[\text{고백}] = pV - (1-p)\,c
$$
이게 0보다 커야 말한다. 정리하면 고백 조건은
$$
p > p^{*} = \frac{c}{V + c}
$$
$p^{*}$는 "이 정도는 확신해야 말한다"는 문턱이다. 문턱은 $c$가 커질수록 올라간다.
```plot
제목: 거절 비용에 따른 고백 문턱
y = x / (1 + x)
x: 0..6
```
가로축은 $c/V$, 성사의 가치에 견준 거절의 값이다. 거절이 공짜면($c = 0$) 문턱은 0이고, 조금이라도 가능성이 보이면 말한다. 거절이 성사만큼 아프면($c = V$) 문턱은 $1/2$가 된다 — 반 이상 확신이 없으면 입을 닫는다. 거절이 성사보다 세 배 아프면 문턱은 $3/4$다.
좁은 공동체일수록 $c$가 크다. 그래서 회사와 학과에서 고백은 드물고, 여행지에서는 흔하다. 사람이 달라진 게 아니라 $c$가 달라졌다.
## 둘 다 기다리는 이유
두 사람이 같은 식을 풀고 있다. 각자의 $p$가 각자의 $p^{*}$보다 작으면 둘 다 침묵한다. 여기까지는 그냥 두 번의 계산이다. 문제는 그 다음이다.
침묵은 관찰된다. 상대가 말하지 않는 걸 보고 나는 "관심이 없나 보다"라고 읽는다. 내 $p$가 내려간다. 상대도 같은 걸 본다. 상대의 $p$도 내려간다.
$$
p_{t+1} < p_t \quad \text{(양쪽 모두)}
$$
시간이 갈수록 둘 다 문턱에서 멀어진다. 처음엔 문턱 바로 아래였던 두 사람이 반년 뒤엔 한참 아래에 있다. 둘 다 좋아하는데 둘 다 "쟤는 아니다"라고 결론 내린 상태. 이게 교착이고, 교착은 누가 못나서 생기는 게 아니라 $c > 0$이면 생기는 기본 상태다.
## 밀당은 상대의 c를 올리는 일
반대 방향도 있다. 관심을 숨기는 쪽.
고백 비용이 있어야 고백이 뜻을 가진다. 호감 $\theta$인 사람이 고백해서 얻는 건 $\theta V - c$이고, 이게 양수인 사람만 말한다.
$$
\theta > \frac{c}{V}
$$
그러니까 $c$를 치르고 말했다는 사실 자체가 "$\theta$가 적어도 $c/V$는 된다"는 증거다. 비용이 없으면 증거도 없다. 누구나 공짜로 할 수 있는 말은 아무 정보도 주지 않는다.
밀당은 이걸 거꾸로 쓰는 기술이다. 관심을 덜 보여서 상대의 $p$를 낮추고, 그러면 상대가 치러야 할 실질 비용이 올라간다. 그 비용을 치르고도 오는 사람은 $\theta$가 큰 사람이다. 걸러내기다.
대가가 있다. 문턱을 너무 올리면 $\theta$가 큰 사람도 안 넘어온다. 고백 조건 $p > c/(V+c)$에서 $p$를 깎는 건 상대를 문턱 아래로 밀어내는 일이기도 하다. 밀당이 실패하는 지점은 늘 여기다 — 걸러내려다 전부 걸러진다.
## 매칭 앱이 푼 것
틴더가 발명한 건 만남이 아니라 메커니즘이다. 두 사람이 각자 몰래 "예/아니오"를 내고, 둘 다 "예"일 때만 공개된다. 한쪽만 "예"면 아무 일도 안 일어나고, 그 사람은 자기가 거절당했다는 사실조차 모른다.
$c$를 0으로 만든 것이다.
| | 상대 예 | 상대 아니오 |
|---|---|---|
| 내가 예 | 성사 ($V$) | 아무 일 없음 (0) |
| 내가 아니오 | 아무 일 없음 (0) | 아무 일 없음 (0) |
이 표에서 진실을 말하는 게 약우월전략이다. 좋아하는데 "아니오"를 내면 성사를 놓치고, 안 좋아하는데 "예"를 내면 원치 않는 매치가 생긴다. 거짓말로 얻는 게 없다. 메커니즘 디자인이 하는 일이 이거다 — 각자 제 속을 그대로 말하는 게 최선이 되도록 규칙을 짜는 것.
고백을 없앤 게 아니라 거절을 없앴다. 문턱 $p^{*} = c/(V+c)$에서 $c = 0$이니 문턱은 0이다. 조금이라도 괜찮으면 누른다.
부작용도 같은 식에서 나온다. $c = 0$이면 "예"는 비용이 없고, 비용이 없는 신호는 정보가 없다. 위에서 본 $\theta > c/V$의 걸러내기가 사라진다. 그래서 앱에서는 좋아요가 넘치고 그 좋아요가 아무것도 말해주지 않는다. 양이 질을 대신한다. 교착을 풀었더니 신호가 죽었다.
## 먼저 제안하는 쪽이 유리하다는 정리
거절이 공짜인 세계에서는 다른 결과가 하나 더 나온다. Gale과 Shapley가 증명한 것 — 제안하고 거절당하고 다시 제안하는 과정이 끝나면 안정적인 짝이 나오는데, 그 짝은 제안한 쪽에 가장 유리한 안정 매칭이다. 제안받기만 한 쪽에는 가장 불리한 안정 매칭이다.
이 정리의 가정은 거절 비용이 0이라는 것이다. 거절당해도 다음 사람에게 바로 제안할 수 있어야 한다.
두 세계가 갈린다.
| | $c = 0$ | $c > 0$ |
|---|---|---|
| 먼저 말하면 | 유리하다 (제안자 최적) | 손해 본다 (문턱을 혼자 넘음) |
| 아무도 안 말하면 | 일어나지 않음 | 기본 상태 (교착) |
| 신호의 값 | 없음 | 있음 |
"먼저 말하는 쪽이 진다"와 "먼저 말하는 쪽이 이긴다"가 둘 다 맞는 이유다. 둘은 다른 $c$의 세계에 대한 말이다. 어느 쪽에 있는지 모르고 조언을 들으면 반대로 간다.
## 반례
사람의 $\theta$는 고정돼 있지 않다. 고백을 받으면 $\theta$가 변한다. 관심 없던 사람이 고백을 듣고 보기 시작하는 일은 흔하고, 그건 신호가 정보를 전달한 게 아니라 선호를 만든 것이다. 위의 식들은 전부 선호가 먼저 있고 행동이 그걸 드러낸다고 가정한다. 그 가정이 깨지면 $p$ 자체가 고백에 의해 움직이고, 문턱 계산은 뒤에서 하는 설명이 된다.
반복도 있다. 한 번 거절당하고 끝이 아니라 그 뒤로도 같은 사람과 지내는 경우, $c$는 거절의 순간이 아니라 그 뒤 관계가 어떻게 되느냐로 정해진다. 거절을 잘 받는 사람 옆에서는 $c$가 작고, 그 사람에게는 고백이 많이 온다. $c$는 구조의 값이면서 동시에 한 사람의 태도가 만드는 값이기도 하다.
## 이어진 개념
↑ [[개념/구조가 선택을 강제|구조가 선택을 강제]] — 침묵은 성격이 아니라 $c$의 함수다
→ [[개념/선택지|선택지]] — 메커니즘은 선택지의 모양을 바꿔 답을 바꾼다
→ [[개념/밖을 본다|밖을 본다]] — 속마음 대신 거절 비용을 본다